counting without cutting

[soundararajan50]

courtesy: Sri.Varagooran Narayanan


பலாப்பழத்தைப் பிளக்காமல் அதன் உள்ளிருக்கும் சுளையின் எண்ணிக்jகையை அறிந்துகொள்ளும் வழிமுறை மற்றும் ஓர் பூசணிக்காயை உடைக்காமலே அதில் எத்தனை விதை இருக்கிறது போன்ற செய்திகள் கச்சிதமாக கூறுகிறது


கணிதத்தின் ஆரம் கணக்கதிகாரம் :


"காரிநாயனார்" என்னும் புலவர் இயற்றியதே கணக்கதிகாரம். இந்நூல் கணிதச் செய்திகளை அறிவியல் முறையில் தருகிறது. கணக்கதிகாரத்தில் 60 வெண்பாக்களும் 45 புதிர் கணக்குகளும் உள்ளன.பூமி சூரியனை சுற்றும் காலம் , நிலவு சூரியனை சுற்றும் காலம் , நிலவு பூமியை சுற்றும் காலம் போன்றவற்றையெல்லாம் கச்சிதமாக கூறுகிறது கணக்கதிகாரம். எடுத்துக்கட்டாக பலாப்பழத்தைப் பிளக்காமல் அதன் உள்ளிருக்கும் சுளையின் எண்ணிக்கையை அறிந்துகொள்ளும் வழிமுறை மற்றும் ஓர் பூசணிக்காயை உடைக்காமலே அதில் எத்தனை விதை இருக்கிறது போன்ற செய்திகள் கச்சிதமாக கூறுகிறது கணக்கதிகாரம்.மேலும் விளக்கமாக இங்கு காண்போம்.



"பலாவின் சுளையறிய வேண்டுதிலேல் ஆல்கு
சிறுமுள்ளுக் காம்பரு எண்ணி - வருவதை
ஆறிற் பெருக்கியே ஐந்தனுக் கீந்திடவே
வேறெண்ண வேண்டாஞ் சுளை."
- கணக்கதிகாரம்


விளக்கம் :
பலாப்பழத்தின் காம்புக்கு அருகில் உள்ள சிறு முட்களை எண்ணி ஆறாலே பெருக்கி ஐந்தால் வகுக்க பலாப்பழத்தினுள் உள்ள சுளைகளின் எண்ணிக்கையை அறியலாம்.


"கீற்றெண்ணி முத்தித்துத் கீழாறினால் மாறி
வேற்றையஞ்சு தன்னில் மிகப்பெருக்கிப் பார்த்ததிலே
பாதி தள்ளி மூன்றிற் பகிர விதையாகும்
பூசணிக்காய் தோறும் புகல்" - கணக்கதிகாரம்


விளக்கம் :
ஒரு பூசணிக்காயின் கீற்றுகளை எண்ணிக்கொண்டு அதை மூன்று, ஆறு, ஐந்து இவற்றால் பெருக்கி வரும் விடையை பாதியாக்கி மீண்டும் மூன்றால் பெருக்கினால் வருவது விதைகளின் எண்ணிக்கையாகும்.


ஒரு பூசணியில் உள்ள கீற்றுகளின் எண்ணிக்கையை "அ" என்க. பாடலின் படி அதை 3,6,5 ஆகியவற்றால் பெருக்க கிடைப்பது "90அ" ஆகும் அதை பாதியாக்கினால் கிடைப்பது "45அ" ஆகும். அதை மீண்டும் மூன்றால் பெருக்க கிடைப்பது "135அ" ஆகும்.


ஒரு பூசணியில் உள்ள கீற்றுகளின் எண்ணிகையை அ=6 ஆறு எனக்கொண்டால் (135 * 6 = 810) 135 ஐ ஆறால் பெருக்க கிடைப்பது 810 ஆகும். எனவே பூசணியில் உள்ள விதைகளின் எண்ணிக்கை 810 ஆகும்.


...........................................................................................
அவரது கணக்கதிகாரத்தில் இருந்து
சில பாடல்கள் :
******************************************************************


முப்பத் திரண்டு முழமுளமுட் பனையைத்
தப்பாமலோந்தி தவழ்ந்தேறிச் - செப்பமுடன்
சாணேறிநாலு விரற்கிழியு மென்பரே
நாணாதொரு நாணகர்ந்து
பனையதனை இரட்டித்துப் பன்னிரண்டால் மாறி
இருநாலுகீந்து கொள் ( விடை ஒன்று )


ஒரு முழம் = இரண்டு சாண்
ஒரு சாண் = 12 விரற்கடைகள்


32 X 2 = 64; 64 X 12 = 768 ; 768/8 = 96 நாட்கள்


*****************************************************
முந்திரி அரைக்காணி முன்னிரண்டு பின்னிரண்டாய்
வந்ததோர் காணிநான் மாவாக்கி ஒன்றொரு
நாலாக்கிக் காலாக்கி நன்னுதலாய் காலதனை
நாலாக்கி ஒன்றாக நாட்டு (விடை இரண்டு )


முந்திரி = 1 / 320
அரைக்காணி = 2*(1/320) = 1/160
காணி = 2*(1/160) = 1/80
மா = 4* (1/80) = 1/20
கால் = 5*(1/20) = 1/4
ஒன்று = 4*(1/4) = 1
***********************************************************************
பலாவின் சுளையறிய வேண்டிதிரேலாங்கு
சிறுமுள்ளுக்காம்பருக்கெண்ணி - யறுகாக
ஆறிற்பெருக்கியே யைந்தினுகீந்திடவே
வேறென்ன வேண்டாஞ்ச்சுளை (விடை மூன்று)


பலாவின் காம்பை சுற்றி 50 முட்கள்
இருப்பதாக கொள்க.


50 X 6 = 300 ; 300 / 5 = 60 சுளைகள்
************************************************************
கட்டிய "பூ"வை எப்படி அளப்பார்கள்?


முழம் போட்டுத் தானே?


இந்த முழம் என்பதன் சரியான அளவு என்ன தெரியுமா?


இதோ பழந்தமிழரின் இலக்கணநூல் "கணக்கதிகாரம்" என்ன சொல்கிறது என்பதையும்தான் பார்ப்போமே?


"விரல் பன்னிரெண்டு கொண்டது சாண்"


"சாண் இரண்டு கொண்டது முழம்".


ஆக இரணடு சாண் என்பதையே ஒரு முழம் என்று அளவிட்டு சொல்லியுள்ளார் கணக்கதிகாரம் என்னும் இலக்கண நூலை எழுதிய காரிநாயனார் என்னும் புலவர்.


பழந்தமிழர்கள் கற்பனை திறனிலும், கவிநயத்திலும், கணிதத்திறனிலும் புகழ்பெற்றவர்களாகத் திகழ்ந்துள்ளனர்.
அத்தகைய திறன்பெற்றவர்களில் ஒருவர்தான் காரிநாயனார்.




"ஏரம்பம்" என்பதே மிகப்பழைய கணக்கியல் நூலென்றும் தற்போது அது


மறைந்து விட்டதாகவும் தேவநேயப் பாவாணர் குறிப்பிட்டுள்ளார்.




காரிநாயனார் இயற்றிய நூலே கணக்கதிகாரம். இந்த நூல் காரிநாயனார் கணிதத்தில் பெற்றுள்ள புலமையைக் காட்டுகிறது.


இந்த நூலில் மொத்தம் 64 வெண்பாக்களும், 46 புதிர் கணக்குகளும் உள்ளன.


வெண்பாக்கள் மூலமாகப்


பண்டைய கால நீட்டல், முகத்தல், நிறுத்தல் அளவைகள்,

உலோகக் கலவை முறைகள்,


பூமி, சூரியன், சந்திரன் ஆகியவற்றின் தொலைவு


, சமுத்திரங்களின் அளவுகள், நாழிகை விவரங்கள்,

விவசாயம், அறுவடை, கூலி வழங்கும் முறை,


வயல்வெளிகளை அளக்கும் முறை,


வட்டத்தின் சுற்றளவு, பரப்பளவு காணும் முறை,


மிக நுண்ணிய அளவீடுகள் முதல் மிகப்பெரிய அளவீடுகள் வரையிலும் கணக்கிடும் முறைகள் பற்றி தெளிவாக விளக்கவுரையுடன் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது.


வட்டத்தின் பரப்பளவைக் காண காரிநாயனார் பின்வருமாறு குறிப்பிடுகிறார்.


"விட்டத்தரை கொண்டு வட்டத்தரை தாக்கச்
சட்டெனத் தோன்றும் குழி"




இதன் விவரம்,


விட்டத்தரை (விட்டத்தில் பாதி) = r
வட்டத்தரை (சுற்றளவில் பாதி) =2r/2= r
குழி (பரப்பளவு) = r X r = r2
இதுபோல பல அரிய விவரங்கள் இதில் காணப்படுகின்றன.


காரிநாயனார் புதையலாக நமக்கு கொடுத்துவிட்டுச் சென்ற 46 புதிர் கணக்குகளில் ஒன்றை இப்போது பார்ப்போம்!


"பலகாரம் தின்ற நாள்"
(கணக்குப் புதிர்)



பட்டிணத்தில் இருக்கும் செட்டியார் வீட்டுக்கு அவரது மருமகப்பிள்ளை ஒருவர் வந்தார்.


அந்த மருமகப்பிள்ளைக்கு, தினந்தோறும் பலகாரம் செய்ய, சக்தி போதாமல், ஒரே நேரத்தில்


" முப்பது ஜாணிகளத்தில், முப்பது ஜாணுயரத்தில், முப்பது ஜாண்கலத்தில், ஒரு பலகாரஞ்செய்து, அதனைத் தினம் ஜாணிகளம், ஜாணுயரம், ஜாணகலமறிந்து", மருமகனுக்கு விருந்திட்டார் எனில் அதை எத்தனை நாளைக்கு விருந்திட்டார்?


புதிர்விளக்கம்

பலகாரத்தின் மொத்தக் கனஅளவு
= 30 x 30 x 30 = 27000 கன அலகுகள்.


தினம் விருந்திட்ட பலகாரத்தின் கனஅளவு
= 1 x 1 x 1 = 1 கன அலகு


ஒரு வருடத்துக்கு விருந்திட்ட பலகாரத்தின் கனஅளவு
= 360 x 1 = 360 கன அலகுகள்
(காரிநாயனார் ஆண்டுக்கு 360 நாட்கள் எனக் கணக்கிட்டுள்ளார்)


அப்படியானால் மொத்தப் பலகாரத்தை விருந்திட்ட ஆண்டுகள் = 27000/360


= 75 ஆண்டுகள்.